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MATLAB自學筆記(十八):極限與數值積分

matlab仿真 ???好氣氣 1072℃ 0評論

一、函數的極限

極限理論是微積分學的基礎理論。在MATLAB中,采用limit計算數量或函數的極限

1.極限的概念

設{xn}為數列,a為常數。若對于任意正數ε,總存在正整數N,使得當n>N時,有|xn – a| <?ε,則稱數列{xn}收斂于a,常數a成為該數列的極限

極限又有左極限與右極限之分

2.求極限的函數(limit)

  • limit(expr, x, a):求函數expr在x->a處的極限
  • limit(expr):求函數expr在x->0處的極限
  • limit(expr, x, a, ‘left’):求函數expr在x->a處的左極限
  • limit(expr, x, a, ‘right’):求函數expr在x->a處的右極限

二、函數數值積分

定積分的計算一般用牛頓-萊布尼茨公式

F(x)是f(x)的原函數之一,由不定積分求得。但是在實際中,往往會遇到一系列的問題

  • 被積函數f(x)是由函數表格提供
  • 被積函數表達式極其復雜,求不出原函數;或求出的原函數很復雜不利于計算
  • 大量函數的原函數不易求出,或原函數無法用初等函數表達,因而無法合適的在計算機上表達

數值積分便是為了解決此類問題而提出的。數值積分只需計算f(x)在節點xi(i = 1,2,…,n)上的值,計算方便且利于在計算機上實現

1.數學表述

數值積分的實質是把連續的定積分(∫)問題拆分成了一系列的點,并對這些點的值進行疊加求和(∑)。這些點稱為積分節點,他有一個對應的求積系數

因此,求積分的關鍵在于積分節點的選擇及積分系數的確定

MATLAB僅支持三重積分及以下的積分運算。且在計算積分值時,要求積分區間是確定的

2.一元函數的數值積分

quad函數

quad采用遍歷的自適應辛普森法計算函數的數值積分,適用于精度要求低、被積函數平滑性較差的數值積分

  • Q = quad(FUN, A, B)
  • Q = quad(FUN, A, B, TOL)
  • Q = quad(FUN, A, B, TOL, TRACE)
  • [Q, FCNT] = quad(…)

式中,FUN為被積函數的句柄,FUN應該接收向量輸入,并輸出相同長度的向量;A,B分別為積分的起始值和結束值;TOL用于控制自適應辛普森的誤差,增大TOL可以加快計算速度,但是計算精度下降。默認:TOL = 1.0e-6。TRACE值非0時,函數輸出計算過程中的[fcnt a b-a Q];FCNT為函數計算的次數

quadl函數

quadl函數采用遍歷的自適應Lobatto法計算函數的數值積分,適用于精度要求高、被積分函數曲線比較平滑的數值積分,其用法與quad函數相同

quadv函數

當被積函數是一系列的函數時,即含有除x外的變量k時,其積分結果與k的取值有關

quadv函數是quad函數的矢量擴展,因此也成為矢量積分。其用法與quad函數相同

矢量積分的計算結果是一個向量

 

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